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[ 2014年08月22日 - 23:22 ]

【高学歴の半兵衛さん、これ解いて】

■ 高学歴の半兵衛さん、これ解いて

・nは2以上の自然数である。下記の等式が成り立つことを証明せよ。

(1)nC0-nC1+nC2-nC3+・・・・・+nCn=0
(2)nC1+(2)nC2+(3)nC3+・・・・・+(n)nCn=(n)・2^(n-1)
(3)nC0+(2)nC1+(3)nC2+・・・・・+(n+1)nCn=(n+2)・2^(n-1)

2014年富山県立大工学部の前期試験の入試問題だ。
半兵衛さん、高学歴ならば簡単でしょ。

参考までに富山県立大工学部のベネッセの進研模試での合格60パーセントラインの偏差値は48です。



スレッド作成者: これは簡単かなー (DOlAXhihWt.)

このトピックへのコメント:
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bwlnpirqmx (10/17 - 22:28) GOqLRkDDvwRdZwHcd
(08/23 - 17:12) 案の定逃げたぞ
北山詩織ちゃん大好き倶楽部 (08/23 - 10:53) 解答と解説です (1) nC0+(nC1)x+(nC2)x^(2)+・・・・・+(nCn)x^(n)=(1+x)^(n) ・・・@ @にx=-1を代入すると nC0-(nC1)+(nC2)-(nC3)+・・・・・+(nCn)=0 よって題意が示された。 (2) @を両辺xで微分すると (nC1)+2(nC2)x+3(nC3)x^(2)+・・・・・・・+n(nCn)x^(n-1)=n(1+x)^(n-1) ・・・A Aにx=1を代入すると (nC1)+2(nC2)+3(nC3)+・・・・・・・+n(nCn)=n*2^(n-1) よって題意が示された。 (3) (1)の@と(2)のAより、@+Aを計算すると nC0+(nC1)x+(nC2)x^(2)+・・・・・+(nCn)x^(n)=(1+x)^(n) ・・・@    (nC1)+2(nC2)x+3(nC3)x^(2)+・・・・・・・+n(nCn)x^(n-1)=n(1+x)^(n-1) ・・・A から nC0+(nC1)(1+x)+x(nC2)(x+2)+x^(2)(nC3)(x+3)+・・・・・+x^(n-1)*(nCn)*(x+n)=(1+x)^(n)+n(1+x)^(n-1) ・・・B Bにx=1を代入して nC0+2(nC1)+3(nC2)+4(nC3)+・・・・+(n+1)(nCn)=2^(n)+n*2^(n-1) したがって nC0+2(nC1)+3(nC2)+4(nC3)+・・・・+(n+1)(nCn)=(n+2)*2^(n-1) したがって題意が示された。
(08/22 - 23:39) 半兵衛は逃げるはず
(08/22 - 23:35) どうせまた屁理屈並べて逃げるよ