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[ 2014年11月03日 - 18:22 ]

【微積分の融合問題を解きました】

■ 0<x<1である、実数xがある。次の問いに答えよ。
(1) 1 < 1+x^(2) < 1+x であることを示せ。
(2) log_{e}2<∫[0,1] 1/(1+x^(2))<1であることを示せ。

(1)
[1]1と1+x^(2)の大小を比較する
1+x^(2)-1=x^(2)
0<x<1より、x^(2)>0 よって1<1+x^(2)であることが示された

[2]1+x^(2)と1+xの大小を比較する
(1+x)-(1+x^(2))=x-x^(2)=x(1-x)
0<x<1より、x>0かつ(1-x)>0よりx(1-x)>0
よって1+x^(2)<1+xであることが示された

[1],[2]より、1<1+x^(2)<1+xであることが示された。

(2)
(1)より、逆数をとると

(1/(1+x))<(1/(1+x^(2)))<1
よって
∫[0,1] (1/(1+x))dx<∫[0,1] (1/(1+x^(2)))dx<∫[0,1] 1dx
[log_{e}(1+x)[0,1] < ∫[0,1] (1/(1+x^(2)))dx < [x][0,1]
log_{e}(2) < ∫[0,1] (1/(1+x^(2)))dx < 1
よって題意が示された。




スレッド作成者: フォリクラ数学部 (9DRV2tnrlmg)

このトピックへのコメント:
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sergzdun (01/20 - 07:58) wBUNkgKtelRjHeA
qsthpnl (12/27 - 05:45) MloEmiISbLi
18:33 (11/04 - 03:03) 旧帝の理学部数学科だけど、数字教えてあげようか?
(11/03 - 18:33) 典型問題の極みだな笑 今日河合の医進模試受けてきたけどそっちで出されるような問題やってくれたらなあ。。。
(11/03 - 18:33) ちょっと何を言ってるかわかりませんねぇ