■ 数列と定積分の融合問題を解いた

・nを自然するとする。数列{a[n]}が下記のように定義されている。

a[n]=∫[0,1] | nx-1 |dx

次の問いに答えよ。
(1) a[1]、a[2]をそれぞれ求めよ。
(2) a[n]を求めよ。

解答
(1)
a[1]=∫[0,1] | x-1 |dx＝∫[0,1] (1-x)dx=[x-(1/2)x^(2)][0,1]=1/2

a[2]=∫[0,1] | 2x-1 |dx＝∫[0,1/2] (1-2x)dx + ∫[1/2,1] (2x-1)dx=[x-x^(2)][0,1/2]+[x^(2)-x][1/2,1]=((1/2)-(1/4))+0-((1/4)-(1/2))=(1/4)+(1/4)=1/2

(2)
a[n]=∫[0,1] | nx-1 |dx＝∫[0,1/n] (1-nx)dx + ∫[1/n,1] (nx-1)dx=[x-(n/2)x^(2)][0,1/n]+[(n/2)x^(2)-x][1/n,1]=((1/n)-(1/2n))+((n/2)-1)-((1/2n)-(1/n))=(2/n)-(1/n)+(n/2)-1=(1/n)+(n/2)-1

したがって
a[n]=(1/n)+(n/2)-1

難しい問題でした。