■ フォリクラ数学部が挑戦しなかったので俺が解いたわ。
問題
1,2,3と書かれたカードをそれぞれ1枚ずつ、計3枚のカードを作り、箱の中に入れる。箱の中から1枚のカードを選び、カードの数字を確認してから箱の中に戻す試行を考える。n回試行を行い、それぞれの回で引いたカードの数字の和が4の倍数である確率をP[n]とする。次の問いに答えよ。
(1) P[1],P[2],P[3]を求めよ。
(2) P[n+1]をP[n]を用いて表せ。
(3) P[n]をnを用いて表せ。
(4) lim[n→∞] P[n]を求めよ。
解答
(1)
1回目はどのカードを引いても4の倍数にならないのでP[1]=0
2回目は1回目で4の倍数にならないので、2回目で1,2,3のうちの1枚の数字を選ぶと和が4の倍数になるのでP[2]=1/3
3回目は2回まで引いて和が4の倍数のときはどれを選んでも和は4の倍数にならない。2回まで引いて和が4の倍数でないときは3回目で
1,2,3のうちの1枚の数字を選ぶと和が4の倍数になる。
したがって
P[3]=P[2]*0+(1-P[2])*(1/3)=(2/3)*(1/3)=2/9
(2)
P[n]とP[n+1]で考える
n回目までのカードを引いた数字の和が4の倍数ならn+1回目はどれを引いても4の倍数にならない。
n回目までのカードを引いた数字の和が4の倍数でないならn+1回目はどれか1枚を引くと4の倍数になる。
したがって
P[n+1]=(1/3)(1-P[n])
したがって
P[n+1]=(1/3)-(1/3)P[n]
(3)
(2)より
P[n+1]-(1/4)=(-1/3)(P[n]-(1/4))と変形できる
したがって
数列{P[n]-(1/4)}は初項(-1/4)、公比(-1/3)の等比数列より
P[n]-(1/4)=-(1/4)(-1/3)^(n-1)
したがって
P[n]=(1/4)-(1/4)(-1/3)^(n-1)
(4)
lim[n→∞] (-1/3)^(n-1)=0より
lim[n→∞] P[n]=1/4
[ 2014年11月13日 - 15:06 ]
( ゜ё゜) (11/13 - 15:15) 女子大ぐへへw
( ゜ё゜) (11/13 - 15:07) 同意い