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[ 2014年11月13日 - 15:06 ]

【確率漸化式の問題を解いた】

■ フォリクラ数学部が挑戦しなかったので俺が解いたわ。

問題
1,2,3と書かれたカードをそれぞれ1枚ずつ、計3枚のカードを作り、箱の中に入れる。箱の中から1枚のカードを選び、カードの数字を確認してから箱の中に戻す試行を考える。n回試行を行い、それぞれの回で引いたカードの数字の和が4の倍数である確率をP[n]とする。次の問いに答えよ。

(1) P[1],P[2],P[3]を求めよ。
(2) P[n+1]をP[n]を用いて表せ。
(3) P[n]をnを用いて表せ。
(4) lim[n→∞] P[n]を求めよ。

解答
(1)
1回目はどのカードを引いても4の倍数にならないのでP[1]=0
2回目は1回目で4の倍数にならないので、2回目で1,2,3のうちの1枚の数字を選ぶと和が4の倍数になるのでP[2]=1/3
3回目は2回まで引いて和が4の倍数のときはどれを選んでも和は4の倍数にならない。2回まで引いて和が4の倍数でないときは3回目で
1,2,3のうちの1枚の数字を選ぶと和が4の倍数になる。
したがって
P[3]=P[2]*0+(1-P[2])*(1/3)=(2/3)*(1/3)=2/9

(2)
P[n]とP[n+1]で考える
n回目までのカードを引いた数字の和が4の倍数ならn+1回目はどれを引いても4の倍数にならない。
n回目までのカードを引いた数字の和が4の倍数でないならn+1回目はどれか1枚を引くと4の倍数になる。
したがって
P[n+1]=(1/3)(1-P[n])
したがって
P[n+1]=(1/3)-(1/3)P[n]

(3)
(2)より
P[n+1]-(1/4)=(-1/3)(P[n]-(1/4))と変形できる
したがって
数列{P[n]-(1/4)}は初項(-1/4)、公比(-1/3)の等比数列より
P[n]-(1/4)=-(1/4)(-1/3)^(n-1)
したがって
P[n]=(1/4)-(1/4)(-1/3)^(n-1)


(4)
lim[n→∞] (-1/3)^(n-1)=0より
lim[n→∞] P[n]=1/4



スレッド作成者: 地方旧帝2年のフェライニ (BFat.hx0jFU)

このトピックへのコメント:
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(11/13 - 16:08) お、いいね、もう少し複雑にすれば河合の全統記述で出されてもおかしくない問題だね。
( ゜ё゜) (11/13 - 15:15) 女子大ぐへへw
( ゜ё゜) (11/13 - 15:07) 同意い