■ 漸化式の問題、解いたよ

・数列{a[n]}があり、a[1]=1である

a[n+1]={a[n]/(1+a[n])}の関係式が成り立つとき、数列{a[n]}をnを用いて表せ。

解答
両辺逆数を取る
(1/a[n+1}}=(1+a[n])/a[n]
(1/a[n+1}}=(1/a[n])+1
(1/a[n])=b[n]とおくとa[1]=1より、b[1]=1
b[n+1]=b[n]+1
したがって
b[n+1]-b[n]=1
したがって数列{b[n]}は初項1,公差1の等差数列より
b[n]=1+(n-1)1
b[n]=n
(1/a[n])=b[n]より
a[n]=(1/n)